量化模型

牛顿到伊藤:古典和随机微积分


微积分

要成为华尔街数量分析师,首先要掌握的基础课程就是金融数学,其中两个基本的概念就是布朗运动和随机微积分。

1828年,植物学家罗伯特•布朗在他的论文中记述了当他在显微镜下观察水中的花粉微粒时,看到这些微粒不停地随机运动。这便是被后人所称为布朗运动的最初来由,它被认为是这些颗粒被看不见的水分子随机碰撞的结果。把一滴墨水滴入一杯水中后墨水会逐渐溶散的扩散过程也由布朗运动导致。

后来,数学家巴歇利尔给出了一个布朗运动的数学定义并用一维的布朗运动(布朗曲线) \(W_t\) 来描述股票价格的变化,大物理学家爱因斯坦也用布朗运动来描述热力学中热流的动力理论。最后维纳给出了布朗运动的严格数学构造从而布朗运动在数学上也被成为维纳过程。这一个是处处连续处处不可导的过程(微积分中的那位魏尔斯塔拉斯最早给出这一类“病态”函数的例子)。

那么布朗运动和我们常见的光滑函数的主要差别在哪里?对于一个光滑函数 $f(x)$,我们有很熟悉的泰勒展开式:

$f(x+\Delta x) = f(x) + f^\prime(x)\Delta x + \frac{1}{2}f^{\prime\prime}(x)(\Delta x)^2+\cdots$

以及与之对应的微分法则(让 $\Delta x$ 趋向于无穷小 $dx$ ),并记 $df (x)= f(x+\Delta x) -f(x)$

$df (x)= f'(x)dx$

这里可以大致理解为高阶无穷小量“消失”了(这有些类似与牛顿爷当初建立微积分的直观认识,不够严格哈!)。对于一个以时间 $t$ 和布朗曲线 $W_t$ 为自变量的二元函数来说,微分法则应该是什么样子呢?首先,我们来看一个随机过程

$S_t =\mu dt +\sigma dW_t$

我们前面提到,$W_t$ 处处不可微,所以类似于 $dW_t =W’dt$ 是没有意义的。事实上,一个关键而且有趣的关系是

$(dW_t)^2= dt$

这一关系表明,在一点附近, $W$ 作剧烈震动,也就是说 $dW \gg dt$,同时由于 $W$ 的来回震动导致其期望偏移和时间的移动为同阶次量(对与标准布朗运动二者相等)。于是我们可以从经典微积分中的二元函数泰勒展开来“推导”出随机微分关系。对于二元光滑函数 $g(t,W)$,我们有

$g(t+\Delta t, W_t+\Delta t) \\
= g(t, W_t) \\
+ g^\prime_t(t, W_t) \Delta t + g^\prime_W(t, W_t) \Delta W_t \\
+ \frac{1}{2} g^{\prime\prime}_{t^2} (t, W_t) (\Delta t)^2+ \frac{1}{2} g^{\prime\prime}_{W^2}(t, W_t) (\Delta W
_t)^2 + g^{\prime\prime}_{t,W}(t, W_t) (\Delta t \Delta W_t) +\cdots$

我们同样地让 $Δt$ 趋向于无穷小 $dt$ 。由于 $W_t$ 是连续的,所以这时 $W_t$ 也趋向于它对应的无穷小 $dW_t$。如此一来,和前面类似,很多“尾项” 都最终消失,除了 $(ΔW_t)^2$ 项最终要保留下来,因为它最终趋向于 $(dW_t)^2= dt$。这便是著名的伊藤公式(记 $dg(t, W_t) = g(t+\Delta t, W_t+\Delta t) – g(t, W_t)$):

$dg(t, W_t) = [g’_t(t, W_t) + \frac{1}{2} g^{\prime\prime}_{W^2}(t, W_t) ] dt + g^\prime_W(t, W_t) dW_t$

这一公式在几何布朗运动中的成功应用导致的现代金融数学中重要的布莱克-舒尔茨-莫顿期权定价偏微分方程模型的建立和以此产生的1997年诺贝尔经济学奖。我们在后续文章中在做介绍。

 

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