量化模型

BS公式能否正确定价资产价格变化?


大多学术界的研究都致力于回答一个问题:期权模型是否能够正确定价波动率风险?也就是重点关注波动率风险溢价,即期权的隐含波动率倾向于高估未来的实际波动率。 然而,很少有研究关注标的资产的价格变化,即回答:期权模型是否能够正确定价标的资产的价格变化?

常用的Black-Scholes期权定价模型假定标的资产遵循一个几何布朗运动(GBM)过程。 因此,我们需要考虑使用不同的随机过程来模拟资产价格,本文参考论文[1]中的方法来尝试回答上述问题。

我们假设标的资产遵循MA(1)过程,也就是资产收益是自相关的,

$\frac{dS_t}{S_t}= \mu dt+\sigma dW_t+\beta \sigma dW_{t-h}$

其中$\beta$代表过去冲击的影响,而$h$是一个很小的常数,$|\beta|<1$,当$\beta=0$时,则资产价格变为GBM。

在应用一些标准定价技术后,可以推导出一种类似于BS公式的闭式期权定价公式,与BS的区别在于其方差(和波动率)包含自相关系数

$\sigma^2[(1+\beta)^2(\tau-h)+h]$

从上面的公式我们可以看出

  1. 当标的资产遵循一个均值回归过程,即$\beta<0$时(股票指数通常是这种情况),MA(1)波动率变小。 因此,如果我们使用带有$\sigma$的BS公式作为波动率的输入,它将高估期权价格。
  2. 相反,当标的资产变动有趋势时,即$\beta>0$时,BS公式低估了期权价格。
  3. 到期时间$\tau$也会影响定价的程度。 到期时间更长的期权受到自相关因素的影响更大。

 

[1] Liao, S. and Chen, C. (2006), The valuation of European options when asset returns are autocorrelated. J. Fut. Mark., 26: 85-102.

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